Résumé de Mécanique : La cinématique

Résumé de Mécanique : La cinématique

N.B. x, y, z, Dx, Dy, Dz, v_x, v_y, v_z, a_x, a_y, a_z sont tous des composantes de vecteurs (position, déplacement, vitesse et accélération)

Position : x, y ou z ; il s’agit de coordonnées et non de distances parcourues

Déplacement : Dx = x₂ – x₁ , Dy = y₂ – y₁ , Dz = z₂ – z₁

Pente de la tangente à la courbe ou dérivée

Calcul de la vitesse :

Donc, on remarque sur les graphiques, que le rapport Dx/Dt quand Dt tend vers zéro, devient égal à la pente de la tangente à la courbe du graphique de x en fonction de t.

Calcul de l’accélération :

Donc, a_x est la pente de la tangente à la courbe du graphique de v_x en fonction de t.

Aire sous la courbe ou intégrale

Calcul du déplacement et de la position

où dx représente la variation de x et la dernière expression de la ligne précédente (l’intégrale de v_x dt de t₁ à t₂), représente la somme de toutes les variations de x de t₁ à t₂. On obtient cette somme en évaluant, sur le graphique de v_x en fonction de t, les aires entre la courbe et l’axe du temps. Par exemple, pour trouver la valeur de x à t = t’ à l’aide du graphique de v_x en fonction du temps, on fait le calcul suivant :

x = x_o + (aire de t_o à t’) où x_o est la composante x de la position initiale au temps t_o.

Mais, attention, il faut se rappeler que ce qu’on fait, c’est la somme des v_x dt qui sont parfois positifs, parfois négatifs (voir figure suivante).

Calcul de la variation de vitesse et de la vitesse

où dv_x représente la variation de v_x et la dernière expression de la ligne précédente (l’intégrale de a_x dt de t₁ à t₂), représente la somme de toutes les variations de v_x de t₁ à t₂. On obtient cette somme en évaluant, sur le graphique de a_x en fonction de t, les aires entre la courbe et l’axe du temps. Par exemple, pour trouver la valeur de v_x à t = t’ à l’aide du graphique de a_x en fonction du temps, on fait le calcul suivant :

v_x = v_xo + (aire de t_o à t’) où v_xo est la composante x de la vitesse initiale au temps t_o.

Mais, attention, il faut se rappeler que ce qu’on fait, c’est la somme des a_x dt qui sont parfois positifs, parfois négatifs.

Mouvement uniformément accéléré :

Si on applique les relations décrites plus haut au cas où l’accélération est constante, on obtient les équations suivantes (N.B. il faut se rappeler encore que ces équations mettent en relation des composantes de vecteurs et le temps).

(x_o, v_xo sont les valeurs de x et v_x à t = t_o; dans bien des cas, on pose t_o = 0)