Résumé de Mécanique : Incertitudes et autres concepts utilisés en laboratoire

Erreur :

Quand on fait une mesure d’une quantité physique, on fait toujours une erreur; cette erreur, on ne la connaît pas; si on la connaissait, on la corrigerait!

Incertitude absolue :

L’incertitude absolue d’une mesure est l’estimation qu’on fait de la plus grande erreur qu’on ait pu faire. On l’évalue en utilisant notre gros bon sens en tenant compte du soin qu’on a pris pour faire la mesure, de la précision de l’instrument utilisé, du type de quantité mesurée et de tout autre facteur pouvant influencer la valeur obtenue.

Si on a mesuré une quantité A, son incertitude absolue est représentée par DA. Bien sûr, A et DA ont les mêmes unités physiques. L’intervalle représentant les valeurs possibles de la valeur mesurée (de A_opt – DA à A_opt + DA) est appelé le domaine d’incertitude. On représente ce domaine comme ceci :

A = A_opt ± DA , où A_opt est la valeur optimale ou la plus probable de A.

La représentation graphique du domaine d’incertitude est un diagramme linéaire. Si on illustre sur le même diagramme linéaire plusieurs domaines d’incertitude pour fin de comparaison, on parle alors de diagramme linéaire de comparaison.

Incertitude relative :

L’incertitude relative est obtenue en divisant l’incertitude absolue par la valeur de la quantité (en valeur absolue); on obtient une fraction sans unité qu’on exprime généralement en pourcentage. Incertitude relative de A = (DA/A) × 100%.

N.B. Si on connaît l’incertitude relative d’une mesure, on peut facilement trouver l’incertitude absolue en multipliant l’incertitude relative par la valeur mesurée. (Par exemple, si l’incertitude relative de A est de 3%, alors DA = 3% × A).

Calcul d’incertitude (aussi nommé « Calcul d’erreur »):

Si on calcule une quantité physique à partir de quantités mesurées dont on connaît les incertitudes, le calcul de son incertitude peut se faire de plusieurs façons. Il y a la méthode des extrêmes, la méthode des règles et la méthode des dérivées partielles.

Méthode des extrêmes :

Pour calculer l’incertitude d’une quantité A calculée à partir de quantités mesurées dont on connaît les incertitudes, il s’agit d’évaluer la plus grande valeur possible ( A_max ) et la plus petite valeur possible ( A_min ) de la quantité physique calculée en choisissant, pour chacune des quantités mesurées, la valeur appropriée (choisie dans son domaine d’incertitude).

Par la suite, on obtient, DA par un calcul simple :

Ex. 1 : Si L= ( 10 ± 1 ) cm et h = ( 20 ± 2 ) cm et A = L × h; alors A_max = (11 × 22) cm²

et A_min = (9 × 18) cm² et DA = 40 cm²

Ex.2 : Si D = (2,3 ± 0,2) cm et T = (0,23±0,01) s et v = D/T; alors v_max = (2,5/0,22) cm/s et v_min = (2,1/0,24) cm/s et Dv = 1,3 cm/s

On peut calculer le A optimal, soit en faisant la moyenne des valeurs extrêmes, soit en la calculant directement à partir des valeurs optimales des quantités mesurées; ces deux méthodes donnent généralement le même résultats après arrondissement; si ce n’est pas le cas, il est préférable d’utiliser la deuxième.

Méthode des règles simples :

On peut démontrer, à l’aide de la méthode des extrêmes, des règles simples de calculs d’incertitude pour des résultats qui sont obtenus par des calculs simples (addition, soustraction, multiplication, division, puissance)

Règle 1 : si C = A + B ou C = A – B , alors, DC = DA + DB (on fait la somme des incertitudes absolues)

Règle 2 : si C = A × B ou C = A/B , alors, DC/C = DA/A + DB/B (on fait la somme des incertitudes relatives)

Règle 3 : si C = Aⁿ, alors DC/C = n DA/A (« n » peut être un nombre réel quelconque)

Mais, attention, si vous avez une expression un peu plus compliquée, alors, il faut faire le calcul par étape : par exemple, si C = (A + B)/D, on calcule d’abord l’incertitude du numérateur avec la première règle, puis ensuite celle du quotient avec la deuxième.

Aussi, si dans l’expression, la même quantité apparaît à plusieurs endroits (par exemple, si C = (A + B)/(B – D)), la méthode des règles peut donner une incertitude un peu trop grande; il vaut mieux alors utiliser soit la méthode des extrêmes, soit celle des dérivées partielles.

Méthode des dérivées partielles :

La dérivée partielle de f par rapport à A est la dérivée de f par rapport à A en considérant les autres variables (B et C) comme des constantes.

Écriture et Arrondissement :

L’incertitude doit être écrite avec un seul chiffre (on ne tient pas compte des zéros qui précèdent ce chiffre); un deuxième chiffre peut être toléré, surtout si le premier est 1 ou 2. Donc, après avoir arrondi l’incertitude (à un ou deux chiffres), il faut alors arrondir le résultat de façon à ce que le dernier chiffre conservé soit du même ordre de grandeur que le dernier chiffre conservé de l’incertitude. Si on utilise la notation scientifique pour représenter une quantité, la puissance de 10 doit être la même pour le résultats et son incertitude.

Par exemple,

(3,74546 × 10³ ± 2,73592 × 10²) m devrait être écrit :

(3,7 ± 0,3) × 10³ m ou encore (3,75 ± 0,27) × 10³ m

Écart significatif ou non significatif et résultats incompatibles ou compatibles

Quand on compare deux résultats de mesures d’une même quantité ou le résultat d’une mesure à sa valeur « théorique », l’écart entre les deux résultats est tout simplement la différence entre les deux valeurs optimales.

L’écart est dit « significatif » si il est plus grand que la somme des incertitudes des résultats comparés. On dit alors que les résultats sont incompatibles.

Par exemple, supposons que deux élèves ont obtenu les résultats suivants pour une même quantité.

a₁ = 2,34 ± 0,03 m/s² et a₂ = 2,39 ± 0,01 m/s² ,

alors, l’écart est de (2,39 – 2,34) m/s² = 0,05 m/s²

et comme il est supérieur à la somme des incertitudes (0,03 + 0,01) m/s² =0,04 m/s²

il s’agit donc d’un écart significatif : c’est parce que, comme on peut le voir, sur le diagramme linéaire de comparaison, les deux domaines d’incertitude n’ont aucun point commun.

Cependant, si l’écart est inférieur à la somme des incertitudes, alors il est non significatif et les résultats sont compatibles (les domaines d’incertitude ont un ou des points communs).

On comprend que des résultats incompatibles (écart significatif) signifient quelque chose… : ou bien une erreur grossière de mesure a été faite ou les incertitudes ont été sous-évaluées; si une des deux valeurs comparées est une valeur « théorique » et que vous êtes sûr d’avoir bien fait vos mesures, ça peut signifier que la théorie est inexacte ou ne tient pas compte de tous les paramètres.

Graphiques, incertitude de la pente d’une droite

On illustre souvent un phénomène physique par un graphique. Comme les valeurs des abscisses et des ordonnées sont des mesures avec des incertitudes, la position de chaque point du graphique est incertaine et on trace donc un petit rectangle d’incertitude contenant toutes les positions possibles pour ce point.

On choisit souvent la variable des abscisses et celle des ordonnées de façon à obtenir une droite. La pente et l’ordonnée à l’origine de cette droite ont des incertitudes, puisqu’on peut faire passer plusieurs droites passant par les rectangles d’incertitude. Le calcul de ces incertitudes peut se faire en évaluant les valeurs extrêmes (maximale et minimale) de la pente et celles de l’ordonnée à l’origine afin d’appliquer la méthode des extrêmes. Théoriquement, les droites de pentes extrêmes devraient passer par tous les rectangles d’incertitude; cependant, il peut y avoir quelques points singuliers (qui doivent être bien identifiés).

Méthode du « Guide des Sciences Expérimentales » :

Tableau, Composante x de la vitesse en fonction du temps
t	Dt	vx	Dv
(s)	(s)	(m/s)	(m/s)
0,100	0,010	0,60	0,20
0,200	0,010	0,67	0,20
0,300	0,010	0,90	0,20
0,400	0,010	1,10	0,20
0,500	0,010	1,31	0,20
0,600	0,010	1,56	0,20
0,700	0,010	1,60	0,20

Cette méthode est celle appliquée par la macro Excel « Graphique de Science ». Après avoir tracé les rectangles d’incertitude et la droite optimale (avec Excel, on fait tracer une courbe de tendance linéaire), on fait glisser verticalement les rectangles d’incertitude du premier et du dernier points, pour les centrer sur la droite optimale et on utilise ces deux rectangles pour tracer les droites de pentes extrêmes dont les propriétés (pentes et ordonnées à l’origine) serviront à calculer les incertitudes.