Considérée comme discipline, la logique est l’étude du raisonnement. Sa principale tâche est de déterminer si un raisonnement est valide ou non. Voici déjà deux questions : qu’est-ce qu’un raisonnement ? qu’est-ce qu’un raisonnement valide ?

On appelle raisonnement une suite de propositions qui affiche un certain enchaînement en vue d’arriver à une conséquence. La conséquence du raisonnement s’appelle conclusion et les autres propositions en sont les prémisses. Par exemple, le texte :

Paris est une belle ville.
Or Paris est la capitale de la France.
Donc la capitale de la France est une belle ville.

exprime un raisonnement dont la conclusion est la proposition :

La capitale de la France est une belle ville

et les prémisses sont les deux propositions :

Paris est une belle ville
Paris est la capitale de la France

En clair : les prémisses d’un raisonnement sont les propositions que l’on nous demande d’accepter, même si c’est juste pour rire ; sa conclusion est la proposition que l’on nous demande d’accepter si l’on accepte ses prémisses.

Un raisonnement peut avoir un nombre aussi grand de prémisses que l’on veut, mais il en faut au moins une. Pour désigner un raisonnement dont la conclusion B est acceptée en vertu des prémisses A₁, …, A_n, nous écrirons :

A₁
.
.
.
A_n
__
B

Par exemple, pour reprendre notre précédent raisonnement :

Paris est une belle ville
Paris est la capitale de la France
__________________________________
La capitale de la France est une belle ville

Abordons maintenant la notion de raisonnement valide.

Une raisonnement est dit valide s’il n’est pas concevable que sa conclusion soit fausse si ses prémisses sont vraies.  Simple, n’est-ce pas ? Mais attention ! Examinons quelques exemples.

La météo annonce du beau temps pour demain
_____________________________________
Il fera beau demain


Tous les cygnes observés jusqu’à maintenant sont blancs
_____________________________________________
Tous les cygnes sont blancs


Socrate est un homme
____________________
Socrate est mortel


Tous les hommes sont mortels
Socrate est un homme
_____________________
Socrate est mortel

Seul le dernier de ces raisonnements est valide. Remarquons que sa conclusion découle des prémisses non pas en vertu des termes « homme », « mortel » et « Socrate » mais plutôt en vertu de la forme logique des propositions. Quel que soit en effet le sens que l’on donne aux termes « homme », « mortel » et « Socrate », il est inconcevable que la conclusion soit fausse si les prémisses sont vraies.

Le premier raisonnement au contraire n’est pas valide : l’expérience a maintes fois démontré que la météo n’est pas infaillible. Le deuxième raisonnement n’est pas valide selon la logique parce qu’on peut concevoir qu’il existe des cygnes non blancs qui n’ont pas été observés jusqu’à maintenant. Enfin, le troisième raisonnement n’est pas valide non plus parce qu’il n’y est pas dit que tous les hommes sont mortels. (On aurait beau dire qu’on le sait, mais à cela la logique répondrait que cela ne suffit pas puisque seules les propositions sont considérées. Tant pis.)

Pas mal compliqué, n’est-ce pas ? C’est normal dans un premier temps. Relisez !

Autres principes et concepts fondamentaux

La validité d’un raisonnement quelconque, du plus simple au plus complexe, peut être démontrée à l’aide de  lois logiques, aussi appelées vérités logiques ou tautologies. Certaines de ces lois sont si fondamentales que certains les appellent principes premiers. En logique classique nous avons notamment les principes suivants.

• Double négation : la négation d’une négation équivaut à une affirmation. Autrement dit, en écrivant « non-A  » pour exprimer la négation d’une proposition A, la proposition non-non-A signifie la même chose que A. Par exemple, si vous voulez exprimer qu’il pleut, vous l’exprimeriez parfaitement en énonçant : « Il est faux qu’il ne pleut pas ».  (En pratique, il est bien entendu plus simple et économique d’employer la forme affirmative : « Il pleut ». La logique ne fait toutefois aucune différence, c’est comme ça.)

• Tiers exclu : toute proposition est vraie ou fausse. Autrement dit il n’y a pas, en logique classique du moins, de proposition ni vraie ni fausse. Une conséquence de cela est que toute proposition de la forme A ou non-A est platement vraie.

• Non contradiction : aucune proposition n’est à la fois vraie et fausse (en même temps et du même point de vue). Donc toute proposition de la forme A et non-A est forcément fausse. La logique appelle contradiction toute proposition de la forme A et non-A. Le principe de non contradiction est formellement exprimé par la formule : non-(A et non-A).

On peut en particulier démontrer la validité d’un raisonnement en montrant que l’acceptation de ses prémisses et de la négation de sa conclusion implique une contradiction. Par exemple, reconsidérons ce raisonnement valide :

Tous les hommes sont mortels
Socrate est un homme
_____________________
Socrate est mortel

Acceptons ses deux prémisses mais nions sa conclusion. Puisque « Tous les hommes sont mortels » (prémisse 1) et  « Socrate n’est pas mortel » (négation de la conclusion), nous concluons logiquement la proposition « Socrate n’est pas un homme », qui contredit nettement « Socrate est un homme » (prémisse 2). Nous sommes donc faits.

La notion de validité est subtile et il faut normalement un certain temps pour en saisir toute la portée. Mais il existe d’autres notions importantes, utiles et plus faciles à saisir. En voici certaines.

• Compatibilité : deux propositions sont compatibles si elles peuvent être toutes les deux vraies en même temps et du même point de vue. Par exemple, « Bill Gates est riche » et « Bill Gates est gentil » sont des propositions compatibles, que vous soyez d’accord ou non avec.

• Contradiction : deux propositions sont contradictoires si l’une est la négation de l’autre. En vertu du principe de non contradiction, deux propositions contradictoires ne peuvent être ni vraies ni fausses en même temps et du même point de vue. Par exemple, « Il pleut » et « Il ne pleut pas » sont des propositions contradictoires. Voici un autre exemple, plus subtil : les propositions « Tous les étudiants réussiront » et « Certains étudiants ne réussiront pas » sont leurs négations mutuelles et sont donc contradictoires.

Tout cela n’est que le bas ABC de la logique. La pratique et l’étude, menées de front, émettrons de la lumière.