1. Rappel de certaines notions importantes
2. Le test de validité pour le syllogisme simple
3. Les règles du syllogisme simple


1. Rappel de certaines notions importantes

1.1 Le raisonnement catégorique

Comme son nom l’indique, le raisonnement catégorique est un raisonnement qui porte sur des catégories (ou classes),  par exemple :

                Tous les hommes sont mortels
                Tous les philosophes sont des hommes
                _______________________________
                Tous les philosophes sont mortels

Les classes dont il question dans ce raisonnement sont celles des hommes, des philosophes et des êtres mortels. Ce sont donc les classes que les termes " homme ", " philosophe " et
" mortel " désignent.


1.2 La proposition catégorique

L’élément de base du raisonnement catégorique est la proposition catégorique. Il y a quatre types seulement de proposition catégorique (les types sont étiquetés par une voyelle : A, E, I et O ; à droite, les lettres schématiques " A " et " B " représentent des termes) :

           

TYPES	FORMES CANONIQUES
A : Universel affirmatif E : Universel négatif I : Particulier affirmatif O : Particuler négatif	Tout A est B Nul A n'est B Certain A est B Certain A n'est pas B

Bien entendu, chaque forme canonique a plusieurs variantes équivalentes.


1.3 Sujet et prédicat

Dans toute proposition catégorique, le premier terme s’appelle sujet et le second s’appelle prédicat.

Par exemple, dans la proposition : " Tous les hommes sont chauves ", le sujet est le terme 
" homme " et le prédicat est le terme " chauve ".


1.4 Quantité d’un terme dans une proposition catégorique

Dans toute proposition catégorique, chacun des deux termes qui y figurent est pris universellement ou particulièrement. Intuitivement, un terme est pris universellement quand tous les éléments de la classe qu’ils désignent sont considérés ; il est pris particulièrement autrement (c’est-à-dire quand seulement quelques éléments de la classe qu’il désignent sont considérés). Le tableau ci-dessous donne la quantité de chaque terme, en fonction du type de la proposition où il figure et de sa position dans la proposition.

Propositions	Quantité du sujet	Quantité du prédicat
A : Tout A est B E : Nul A n'est B I:  Certain A est B O: Certain A n'est pas B	universelle universelle particulière particulière	particulière universelle particulière universelle

En somme, le sujet d’une universelle (A ou E) est pris universellement ; le sujet d’une particulière (I ou O) est pris particulièrement. Le prédicat d’une négative (E ou O) est pris universellement ; le prédicat d’une affirmative (A ou I) est pris particulièrement.


1.5 Le syllogisme simple

Par syllogisme simple on entend un raisonnement catégorique à deux prémisses et à trois termes, chacun apparaissant dans au moins une des deux prémisses. Dans l’ensemble de ces trois termes, on distingue :

                le petit terme
                le moyen terme
                le grand terme

Par définition, le petit terme est le sujet de la conclusion ; le grand terme est le prédicat de la conclusion ; le moyen terme, quant à lui, est celui qui se trouve dans les deux prémisses. La prémisse qui relie le moyen terme au grand terme s’appelle prémisse majeure et l’autre prémisse, qui relie le petit terme au moyen, est la prémisse mineure. Par convention (mais ce n’est qu’une convention qui n’est pas nécessaire) on place la prémisse majeure en premier.

Soit par exemple le syllogisme simple suivant :

                

                Nul insecte n’est un être pensant
                Tout homme est un être pensant
                ________________________________
                Nul homme n’est un insecte

Son petit terme est " homme " et son grand terme est " insecte ". Son moyen terme est
" être pensant ".


2. Le test de validité pour le syllogisme simple

Ce test, qui a été mis au point par John Venn (1834-1923), utilise des diagrammes formés de trois cercles qui se chevauchent. Chacun des cercles représente la classe désignée par un des trois termes A, B et C du syllogisme et chaque zone (de 1 à 7) représente une possibilité de combinaison de ces classes.

DIAGRAMME POUR TROIS TERMES

 

1  : La zone des individus qui sont des A, mais qui ne sont ni des B ni des C.
2  : La zone des individus qui sont à la fois des A et des C, mais qui ne sont pas des B.
3  : La zone des individus qui sont à la fois des A, des B et des C.
4  : La zone des individus qui sont à la fois des A et des B, mais qui ne sont pas des C.
5  : La zone des individus qui sont des B, mais qui ne sont ni des A ni des C.
6  : La zone des individus qui ont à la fois des B et des C, mais qui ne sont pas des A.
7  : La zone des individus qui sont des C, mais qui ne sont ni des A ni des B.


Afin de représenter ce que disent les propositions, nous adopterons la convention suivante : une zone sombre est une zone vide et une zone occupée par une croix est une zone qui contient au moins un individu (donc une zone non vide) ; pour représenter que l’union de deux zones contient au moins un individu, on met une croix dans chacune de ces deux zones et on relie les deux croix par un trait. Selon cette convention, chaque proposition catégorique reçoit une interprétation dans un diagramme pour trois termes.

Par exemple, la proposition " Certains A sont B " se représente comme ceci :

On voit qu’il y a au moins un individu qui est à la fois un A et un B mais pas un C, ou il y a au moins un individu qui est à la fois un A, un B et un C . Mais dans l’un et l’autre cas, il existe au moins un A qui est B, et c’est exactement ce que dit la proposition.

Il est possible de donner une  définition précise de la validité en termes de diagramme.

La première façon consiste d’abord à construire le plus petit diagramme vérifiant les prémisses.  Nous appellerons ce diagramme, diagramme minimal des prémisses. Il s’agit du diagramme contenant seulement l’information nécessaire et suffisante pour vérifier les prémisses.  Ensuite, on regarde si ce diagramme vérifie la conclusion.  Si c’est le cas, le raisonnement est valide ; sinon, il ne l'est pas, car il est alors possible de compléter le diagramme de façon à réfuter la conclusion. Quelques exemples aideront à comprendre.

D’abord, étant donné un syllogisme quelconque, c’est sa forme qui nous intéresse. Soit le syllogisme suivant :

Tous les chats sont des félins.
Certains animaux sont des chats.
__________________________
Certains animaux sont des félins.

On obtient sa forme en substituant uniformément des lettres schématiques à ses termes (ici les termes " chat ", " félin " et " animal " ), ce qui nous donne :

(S1)                               Tous les A sont B
                                      Certains C sont  A 
                                    ________________
                                      Certains C sont B.

Commençons par construire le diagramme minimal des prémisses.  Il s’agit du plus petit diagramme où tous les A sont B et certains C sont A :

Voici maintenant une autre forme. (Ici la prémisse majeure est la seconde prémisse mais cela n’a aucun importance.)


(S2)                   Certains A sont B
                          Certains B sont C
                           _______________
                          Certains A sont C
                         
Faisons le diagramme minimal des prémisses.  C’est le plus petit diagramme où il y a des A et B et où il y a des B et C  :

Ce diagramme vérifie-t-il la conclusion ?  On constate que non. Il ne contient pas suffisamment d’information pour décider s’il y a des A et C.  En fait, on peut compléter le diagramme par l’information additionnelle qu’il n’y a aucun A qui soit un C  :

Nous avons donc un diagramme vérifiant les deux prémisses mais réfutant la conclusion. Donc (S2) n’est pas valide.

Voyons maintenant la seconde manière de s’y prendre. Elle consiste à construire d’abord le diagramme minimal qui réfute la conclusion, puis à voir s’il est possible de le compléter de manière à ce que les deux prémisses soient vérifiées. Si c’est le cas, le raisonnement n'est pas valide ; sinon, il est valide.

Ainsi, pour (S1), le diagramme minimal réfutant la conclusion est le plus petit diagramme où aucun C n’est un B  :

On constate que l’on peut compléter ce diagramme de façon à ce que tous les A soient des B (première prémisse)  :

Toutefois, ce dernier ne peut pas être à son tour complété de façon à ce que certains C soient des A (seconde prémisse), puisque la zone des A et C est vide.  (S1) est donc valide, comme nous le savions déjà.

Concernant (S2), le diagramme minimal réfutant sa conclusion est le plus petit diagramme où aucun A n’est C  :

Or comme on le sait, ce dernier peut être complété de façon à ce que certains A soient des B (première prémisse) et que certains B soient des C (seconde prémisse)  :

3. Les règles du syllogisme simple

Une analyse détaillée du syllogisme simple permet de conclure à un système de cinq règles nécessaires et suffisantes à respecter en vue d’assurer la validité du syllogisme.  Autrement dit, tous les syllogismes valides satisfont ces cinq règles, et conversement, tous les syllogismes qui satisfont ces cinq règles sont valides. Dans l’ensemble de ces cinq règles, trois concernent les propositions et deux concernent les termes.

R1 : Les prémisses ne doivent pas être toutes deux négatives.

R2 :  Si une prémisse est négative, la conclusion doit être négative.

R3 :  Si les deux prémisses sont affirmatives, alors la conclusion doit être affirmative.
 
R4 : Le moyen terme doit être pris universellement dans au moins une prémisse.

Soit par exemple :

                Certains félins sont dangereux.
                Tous les chats sont des félins.
                __________________________
                Tous les chats sont dangereux.

On constate que le moyen terme (" félin " ) n’est ni sujet d’une universelle, ni prédicat d’une négative. La règle n’est donc pas respectée.

R5 : Tout terme qui est pris universellement dans la conclusion doit être

        pris universellement dans la  prémisse où il figure.

Soit par exemple :

                Tout chat est un félin.
                Tout chat est un animal.
                __________________
                Tout animal est un félin.

Dans la conclusion, le petit terme " animal " est pris universellement ; or il n’est pas pris universellement dans la mineure. La règle n’est donc pas respectée.

De ces cinq règles, on peut en dériver deux autres, très utiles.

Règle dérivée 1 : Les prémisses ne doivent pas être toutes deux particulières.

Règle dérivée 2 : Si une prémisse est particulière, alors la conclusion doit être particulière.

Voici comment on obtient la première règle dérivée. Soit un syllogisme dont les deux prémisses sont particulières. Quatre cas sont possibles :

    

Le cas 4 (deux prémisses négatives) est exclu par R1. En outre, puisque nul terme d’une particulière affirmative n’est pris universellement, R4 exclut le cas 1. Restent donc les cas 2 et 3. Selon R2, la conclusion doit être négative dans les deux cas. Selon R5, cela signifie que le grand terme, qui est son prédicat, doit être pris universellement dans la prémisse où il figure. Or cette prémisse est la majeure. Cela exclut donc le cas 2. Reste le cas 3, où la prémisse majeure est une O. Or dans une O, le sujet est pris particulièrement. Ce ne peut donc pas être le grand terme, qui est alors le prédicat. Mais c’est alors le moyen terme qui est le sujet et celui-ci est aussi pris particulièrement dans la prémisse mineure, ce qui est interdit par R4. Le cas 3 est donc aussi exclu.•

La preuve de la seconde règle dérivée est laissée en exercice.

Les cinq règles forment un test complet pour décider si un syllogisme quelconque est valide ou pas. Précisons toutefois que ce test est fondé sur la présupposition qu’aucune des classes considérées n’est vide. Considérons en effet ce syllogisme :

                Tous les lutins sont petits.
                Tous les lutins sont gris.
                _______________________
                Certains êtres gris sont petits.

Celui-ci satisfait toutes les règles. Mais notons que sa conclusion est particulière, tandis que ses deux prémisses sont universelles. On présuppose donc ici qu’il existe des lutins — jugement qui n’est nullement dit dans les prémisses! Cette présupposition existentielle devient claire avec la méthode des diagrammes de Venn : la conclusion ne peut être vérifiée dans le diagramme des deux prémisses qu’en stipulant que la classe des lutins n’est pas vide. (Ci-dessous L = Lutin ; P = Petit ; G = Gris.)

Par conséquent, si on laisse tomber la présupposition existentielle, il faut impérativement ajouter une sixième règle :

R6 : Si la conclusion est particulière, au moins une prémisse doit être particulière.

Cette règle n’apparaît cependant pas dans le résumé ci-dessous, parce que la présupposition existentielle semble raisonnable dans la grande majorité des situations.

Les cinq règles du syllogisme simple

R1 : Les prémisses ne doivent pas être toutes deux négatives.

R2 :  Si une prémisse est négative, la conclusion doit être négative.

R3 :  Si les deux prémisses sont affirmatives, alors la conclusion doit être affirmative.
 
R4 : Le moyen terme doit être pris universellement dans au moins une prémisse.

R5 : Tout terme qui est pris universellement dans la conclusion doit être

        pris universellement dans la  prémisse où il figure.