1. Introduction
La logique ne nous apprend rien sur le monde
; elle cherche plutôt à expliciter (formaliser)
les principes qui régissent la manière dont nous
raisonnons sur le monde.
La logique est l’étude du raisonnement et elle permet notamment de déterminer
si une inférence est valide
ou non, ce qui est sa principale tâche.
L’histoire de la logique peut être grossièrement
divisée en trois grandes périodes.
1) VIe et Ve siècles
avant J.-C. : naissance de la logique dans l’Antiquité grecque,
d’abord implicite en philosophie, en physique et en géométrie.
2) Ve siècle avant J.-C. jusqu’au
XXe siècle : formalisation de la logique chez Aristote et les mégarico-stoïciens,
puis diverses tentatives jusqu’à l’époque moderne, dont
notamment celles de Leibniz, puis Gottlob Frege et Bertrand Russell
; la logique se dote finalement d’un formalisme mieux adpaté à
ses visées, qui se libère des limitations de la langue naturelle
et qui la rapproche des mathématiques. Mais elle conserve toujours
son objet : les règles fondamentales du raisonnement.
3) XXe siècle
: la logique s’intéresse non seulement aux raisonnements
sur des êtres finis, mais également à ceux portant
sur des objets infinis (théorie des ensembles). Elle parvient
aussi à distinguer l’analyse syntaxique de l’analyse sémantique
du raisonnement. Elle se dote d’outils conceptuels affinés
et puissants qui lui permettent, entre autres, de préciser
la notion d’axiomatisation et de traiter la question de la cohérence
et de la complétude de diverses théories mathématiques
(géométrie, arithmétique, analyse) ou physiques
(mécanique newtonnienne, relativités restreinte et générale,
mécanique quantique). Elle s’intéresse aussi à
la question des possibilités et des limites du calcul automatique
et de l’
« intelligence artificielle » (théorie
de la calculabilité). Elle s’applique en même temps à
axiomatiser des types de raisonnements complexes où interviennent
les notions de nécessité et de possibilité (logique
modale), des conditionnels contraires aux faits (logique contre
factuelle), le temps (logique temporelle), les notions de savoir et
de croyance (logique épistémique) et la notion éthique
de devoir (logique déontique).
À travers toute cette histoire, nous
assistons continuellement à des débats philosophiques
entre différentes écoles : école réaliste,
école nominaliste et école formaliste.
2. Le contexte du début
de la logique
La logique se manifeste en Grèce antique
dans le contexte de l’émergence de la rationalité
:
• Rejet du supranaturel.
• Méfiance vis-à-vis la perception
immédiate.
• Affirmation que la nature est intelligible.
• Partir du déjà connu et
compris pour connaître et comprendre davantage.
Non encore explicité, le raisonnement
est pourtant grandement utilisé. Il permet notamment aux
savants de connaître des choses sans pouvoir les observer
ou les mesurer directement. Voici trois exemples.
La hauteur exacte de la pyramide de Khéops
Thales de Milet (VIe
siècle av. J.-C.) avait été invité
par le roi Amasis, averti de ses grandes connaissances. Il se montra
à la hauteur de sa réputation : le roi déclarait
ne pas connaître la hauteur de la grande pyramide déjà
presque bimillénaire. Thalès eut de la chance : à
midi il planta sa canne dans le sable verticalement et dit au roi
: « l’ombre de ma canne est exactement égale à
sa hauteur ; or il doit en être de même pour votre
pyramide : faites mesurer son ombre vous aurez donc sa hauteur
! »
La Terre est sphérique et isolée
dans l’espace.
D’abord la Terre n’est pas plate. Si
elle l’était, on verrait un navire qui s’éloigne
de nous rapetisser peu à peu pour enfin disparaître
d’un seul coup à l’horizon, dès l’instant où
on ne pourrait plus le voir. Or ce n’est pas le cas : on voit
d’abord disparaître sous l’horizon la coque du navire, puis son
pont et seulement enfin son mât. Donc la Terre n’est
pas plate.
De plus, la Terre est une belle boule bien ronde.
En effet, l’ombre de la Terre sur le disque de la
Lune est un arc de cercle en toute circonstance ; on en déduit
donc que la Terre est sphérique et sans support matériel.
La Lune est trois fois plus petite que
la Terre
Aristarque de Samos (310-230 avant J.-C) décrit
ce raisonnement dans son livre. Lors d’une éclipse centrale
de Lune, celle-ci reste environ deux heures dans l’ombre de la
Terre, supposée cylindrique. Or la Lune se déplace
en une heure d’une quantité égale à son diamètre.
Par conséquent, le diamètre de la Lune
est le tiers de celui de la Terre.
D’autres savants grecs raisonnent à d’autres
fins, notamment en philosophie et en rhétorique.
Parménide d’Élée (515-440
avant J.C.)
Parménide pose
que « L’être est et le non-être n’est pas »
Il s’agit d’un postulat.
Sur cette base il soutient que :
• L’être a toujours existé
• L’être existera toujours
• L’être est immobile
• L’être est indivisible
Exemple : L’être a toujours existé.
Car sinon, il y avait avant lui le non-être. Or
le non-être n’existe pas. C.Q.F.D.
Ce procédé de raisonnement caractérise
la démonstration par l’absurde : on démontre
une proposition en démontrant que l’acceptation de sa
négation conduit à une contradiction.
Au-delà de tout cela, on peut discerner
dans la pensée de Parménide l’appel à deux
principes logiques importants :
Non-contradiction : une chose ne peut
être ce qu’elle n’est pas. En particulier la coexistence
de l’être et du non-être est impossible.
Identité : une chose est ce
qu’elle est et rien d’autre. On ne peut confondre un objet avec
un autre, puisqu’il y a permanence de l’état de chaque
objet.
Zénon d’Élée (490/485-430
avant J.C.)
(disciple de Parménide)
Zénon reprend le raisonnement par l’absurde
et formule des paradoxes
afin de montrer la nécessité d’étudier plus finement
certains concepts, dont celui du mouvement. (C’est le paradoxe de «
la flèche à la fois en mouvement et immobile » :
la flèche est en mouvement si et seulement si elle est à
des endroits différents à des instants différents
; or elle est à des endroits différents à des
instants différents si et seulement si elle est immobile à
chacun de ces instants différents ; donc elle
est en mouvement si et seulement si elle immobile à chaque instant!)
Socrate d’Athènes (470-399 av. J.C.)
Socrate reprend
l’idée de raisonnement par l’absurde dans le contexte de
la rhétorique, dans le but de réfuter la position de
l’adversaire. Il dénonce en particulier la pratique des
sophistes, qui consiste entre autres à
donner l’apparence d’une forme logique irréprochable à
des raisonnements fallacieux. (Ex. : Si vous ne travaillez pas, vous
ne réussirez pas ce cours. Donc si vous travaillez, vous
allez réussir ce cours? Erreur !).
3. Formalisation de la logique
dans l’Antiquité
C’est l’importance cruciale du raisonnement en science et en philosophie
qui a naturellement conduit certains savants grecs à s’intéresser
au raisonnement pour lui-même, histoire de mettre de
l’ordre et de la clarté dans tout cela. Ce fut le début
de la logique comme discipline.
Aristote de Stagire (384-322 avant J.C.)
(précepteur d’Alexandre le Grand,
fondateur du lycée à Athènes et père
reconnu de la logique)
L’œuvre logique d’Aristote
fut rassemblée plus tard (fin de l’Antiquité) dans
l’Organon (instrument) comprenant les traités suivants
: Catégories / Topiques / Réfutations
sophistiques / de l’Interprétation / Analytiques
(premiers et seconds – écrits simultanément).
Mais on trouve dans d’autres ouvrages d’Aristote des remarques touchant
la logique, notamment dans sa Métaphysique.
On doit entre autres à Aristote les éléments
suivants.
Définition du raisonnement :
discours constitué de propositions, soit de prémisses,
desquelles est tirée une conclusion. (Ex. : « Tous
les hommes sont mortels et Socrate est un homme, donc Socrate est
mortel. »)
Principes premiers du raisonnement :
• Identité : toute chose est identique
à elle-même.
• Tiers exclu : toute proposition est vraie
ou fausse.
• Non-contradiction : aucune proposition n’est
à la fois vraie et fausse.
• Double négation : la double négation
est équivalente à l’affirmation.
• E falso sequitur quodlibet (le faux
implique tout) : De prémisses fausses, on peut tirer une
conclusion vraie ou fausse.
• Verum sequitur ad quodlibet (le vrai
est impliqué par tout) : Une conclusion vraie peut être
tirée de prémisses vraies ou fausses.
Deux types de raisonnement :
Induction : tirer un jugement
universel de jugements particuliers. ( « Tous les corbeaux
observés sont noirs, donc tous les corbeaux qui existent
sont noirs. »)
Déduction : tirer
des jugements particuliers de jugements universels. ( «
Tous les hommes sont mortels et je suis un homme, donc je suis
mortel. » ) C’est le raisonnement privilégié en logique.
Selon Aristote, le but de la science est la
déduction, mais puisque que pour déduire il faut
des principes — des propositions universelles — le raisonnement
inductif est nécessaire en science.
Symbolisme :
La validité d’un raisonnement déductif
ne dépend pas des termes particuliers qui y figurent mais
de sa forme, d’où l’usage de symboles. Par exemple
: « Tous les hommes sont mortels et je suis un homme, donc je suis
mortel » a la forme :
Tout A est B et a est A, donc a est
B.
De cette manière on peut formuler précisément
des règles de raisonnement valide, sans s’attarder
aux cas particuliers. (C’est comme dans l’algèbre : la proposition
n + m = m + n est vraie quels que soient
les nombres m et n.)
Logique catégorique :
Théorie du raisonnement catégorique,
particulièrement le syllogisme catégorique.
Logique non catégorique :
Formulation des principales règles du
raisonnement composé, particulièrement le raisonnement
disjonctif et le raisonnement hypothétique ou conditionnel.
Si A et B sont des propositions
quelconques, alors les règles sont :
• Modus ponendo ponens : Si
A, alors B ; or A ; donc B.
• Modus ponendo tollens : Ou bien
A, ou bien B ; or A ; donc non-B.
• Modus tollendo ponens : A ou
B ; or non-A ; donc B.
• Modus tollendo tollens : Si A,
alors B ; or non-B ; donc non-A.
Significations des termes latins :
• « modus » signifie simplement « mode »
;
• « ponendo » (resp. « tollendo ») signifie
« en affirmant » (resp. « en niant ») ;
• « ponens » (resp. « tollens ») signifie
« je pose » (resp. «je nie »).
Les mégarico-stoïciens
(école fondée par Euclide de Mégare
(450-380 avant J.C.), disciple de Socrate)
Les mégariques (Diodore Chronos, Philon
de Mégare et Eubulide) s’inscrivaient plutôt dans
la tradition sophistique et formait une école opposée
à celle d’Aristote. Ils sont les fondateurs de la logique
stoïcienne. Plusieurs éléments de la logique
stoïcienne seront repris et réinterprétés
au XXe siècle.
La logique stoïcienne n’est pas une continuation
de l’œuvre d’Aristote, bien qu’elle s’en soit inspirée.
Il s’agit de deux logiques différentes issues de deux philosophies
différentes.
Quelques apports à la logique formelle
:
Étude du raisonnement composé
(abordé par Aristote), où la conclusion est tirée
en vertu des relations logiques que les prémisses établissent
entre des propositions prises comme des blocs. Parmi les propositions
on distingue : les propositions élémentaires
(ou atomes) ; les propositions moléculaires (propositions
formées d’autres propositions).
L’implication philonienne : l’implication est
le connecteur reliant l’antécédent au conséquent
dans une proposition conditionnelle ( « si…, alors …»).
Cette proposition est vraie selon Philon si elle ne commence pas
par le vrai pour finir par le faux ; tous les autres cas sont vrais.
Le fait de souligner les cas vrais d’une telle façon revient
à adopter une interprétation vérifonctionnelle
du conditionnel. C’est cette interprétation du conditionnel
qui sera finalement retenue, et avec succès quoi qu’on en dise,
par la logique classique contemporaine.
Formulation de plusieurs paradoxes par Eubulide,
dont celui du « menteur ». L’une de ses formulations
est :
La phrase que vous lisez maintenant est
fausse.
Si cette phrase est vraie, alors elle est
fausse (ça commence mal!) ; or si cette phrase est fausse,
alors ce qu’elle dit est vrai!
On réalisera plus tard que le paradoxe
est réel et causé par l’autoréférence, phénomène
qui est évité par la distinction entre langage et métalangage
et l’usage exclusif du prédicat de vérité dans le métalangage.
Références
COLLECTIF UQAM, La logique dans tous ses
états,
http://logique.uqam.8m.com/index.html
LLOYD, Geoffrey E.R., Une histoire
de la science grecque, Paris, Seuil, 1990.
PECKER, Jean-Claude (dir.), La nouvelle astronomie,
Paris, Librairie Hachette, 1971.
ROBERT, Serge, La logique, son histoire,
ses fondements, Montréal, Éditions Le Préambule,
1978.